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指数分布的最大似然

Maximum Likelihood for the Exponential Distribution, Clearly Explained! V2.0

外面下着雨
但我在屋内看着StatQuest课程
耶!
大家好 我是Josh Starmer 欢迎来到StatQuest课程
今天我们要说说指数分布和它的最大似然估计
我们会从指数分布和它的作用开始讲起
接下来我们会进入数学部分 完整讲讲最大似然如何应用
那么指数分布是什么呢
指数分布是一种模拟了事件间隔时间的统计分布
例如
你在收到下一条信息之前会等多久?
或是 要多久后会有下一个人观看这个视频?
这就是指数分布的形状
X轴表示的是事件间隔时间
Y轴是按比例缩放的 曲线下方的区域总面积等于1
如果我们对某事件(比如人们看这个视频)
在未来0到5秒钟发生的
概率感兴趣
我们就计算出x=0秒到x=5秒之间
这块区域的面积
这是指数分布的等式
我们为X赋一个值
就会得到对应的y值
λ是“率”参数
它与事件发生的快慢成比例
在这张图中
λ=1
这表示了一个事件
(比如人们观看这个视频)
平均每秒发生一次
这条线对应λ=2
这表示人们观看这个视频的事件
平均一秒发生两次
这条线对应λ=0.5
这表示人们观看这个视频的事件
平均每2秒发生一次
最大似然的目标就是
给定一组测量结果
求得一个最优的λ值
假设我收集了一些
关于观看这个视频的时间间隔的数据
x1表示第1次和第2次观看之间的时间间隔
x2表示第2次和第3次观看之间的时间间隔
x3表示第3次和第4次观看之间的时间间隔
等等等等
这里是n个测量结果
现在我们先假设已经得到了一个较优的λ值
给定第1个测量结果x1后 λ的似然值是什么?
这就是似然函数
表示在我们使用x1这个测量值时
λ的似然值
似然值即为右边这个式子的结果
这个等式就是
当我们代入x1时图上曲线的等式
如果x1在这
那么λ的似然值就是曲线上这个点对应的y值
类似地 给定第2个测量结果x2
λ的似然值就是代入x2后等式的结果
如果x2在这
那么λ的似然值就是曲线对应的y轴上的值
如果给定x1和x2 λ的似然值是什么呢?
这是两个x值分别对应的似然函数
这是组合似然函数
因为这我们同时需要考虑x1和x2
我们把两个似然函数相乘
我把两个似然函数的等式代入
把2个λ提取出来
最后我们把指数相加
这个等式就是给定x1和x2时λ的似然值
砰!
如果给定从x1 x2到xn的所有数据
那么λ的似然值是什么呢?
这是基于我们收集的所有数据得到的似然函数
等于每个似然函数相乘
代入所有似然函数的等式
把所有λ都提取出来
最终把所有指数相加
因此 这就是在给定所有从x1 x2到xn的数据时
λ的似然值
砰!
如果我们没有取得λ的较优值呢?
我们通过尝试不同的λ来找到较优值
为了得到“最大似然值” 我们要进行以下步骤
1)对这个等式求导
2)算出当导数等于0时的λ值
这是不同的λ对应的似然值
当λ为最大似然值时
曲线斜率(就是导数)
就等于0
为了得到λ的最大似然估计值
第1步:对似然函数求导
当函数中有e时
对这个函数取对数后更容易求导
这个式子就是我们将要计算的
我们能这么做是因为一个函数和
它的对数函数求导后会同时等于0
因此要想计算当导数等于0的情况
使用原函数和它的对数函数都可以
由于这是个对数函数
我们可以把相乘转化为相加
接下来 我们把λ的指数n移到log前面
指数函数的对数就是指数部分
如果你对对数不太了解
请看看讲对数的StatQuest
最后 我们对函数的两部分都根据λ求导
现在进行第2步
求解导数等于0时的λ
在等式两边都加上(x1+x2+…+xn)
等式右边就只剩一个式子了
两边都乘以λ
最终两边都除以(x1+x2+…+xn)
这就是λ的最大似然估计值
砰砰!!!
我们收集了很多关于事件发生时间间隔的数据
我们将这些数据代入这个等式
就能得到λ的最大似然估计值
之后我们就能为数据匹配一个指数分布
比如 如果第1次和第2次观看视频间隔2秒
那么x1=2
第2次和第2次观看视频间隔2.5秒
x2=2.5
第3次和第4次观看视频间隔1.5秒
x3=1.5
如果这是我们取得的所有数据
我们就把2 2.5和1.5
代入λ的最大似然估计值公式
求出λ的值
因此 根据给定的数据
我们就算出λ的最大似然估计值是0.5
这就是当λ=0.5时的指数分布曲线
噢耶
又一堂有趣的StatQuest课程结束啦
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译制信息
视频概述

介绍了指数函数自己如何计算其参数λ的最大似然估计

听录译者

收集自网络

翻译译者

可可天使

审核员

审核员XY

视频来源

https://www.youtube.com/watch?v=p3T-_LMrvBc

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